强极大函数的加权 Solyanik 估计

设 $\mathsf M_{\mathsf S}$ 表示 $\mathbb R^n$ 上的强极大算子，$w$ 为一个非负局部可积函数。对于 $\alpha\in(0,1)$，我们通过 $$\mathsf C_{\mathsf S} (\alpha):= \sup_{\substack {E\subset \mathbb R^n \ 0<w(E)<+\infty}}\frac{1}{w(E)}w(\{x\in\mathbb R^n:\, \mathsf M_{\mathsf S}(\mathbf{1}_E)(x)>\alpha\}).$$ 定义与 $\mathsf M_{\mathsf S}$ 相关的加权尖锐 Tauberian 常数 $\mathsf C_{\mathsf S}$。我们证明 $\lim_{\alpha\to 1^-} \mathsf C_{\mathsf S} (\alpha)=1$ 当且仅当 $w\in A_\infty ^*$，即当且仅当 $w$ 是一个强 Muckenhoupt 权。这一结论由估计式 $\mathsf C_{\mathsf S}(\alpha)-1\lesssim_{n} (1-\alpha)^{(cn [w]_{A_\infty ^*})^{-1}}$（当 $\alpha\to 1^-$ 时）量化，其中 $c>0$ 是一个数值常数；该估计是尖锐的，意味着指数 $1/(cn[w]_{A_\infty ^*})$ 在 $[w]_{A_\infty ^*}$ 方面无法改进。作为推论，我们获得了 $\mathbb R^n$ 中强 Muckenhoupt 权的尖锐反向 H"older 不等式，以及 $A_\infty^*$ 到 $A_{p}^*$ 的定量嵌入。我们还考虑了与权 $w$ 相关的 $\mathbb R^n$ 上的强极大算子，记为 $\mathsf M_{\mathsf S} ^w$。在这种情况下，相应的尖锐 Tauberian 常数 $\mathsf C_{\mathsf S} ^w$ 定义为 $$\mathsf C_{\mathsf S} ^w \alpha) := \sup_{\substack {E\subset \mathbb R^n \ 0<w(E)<+\infty}}\frac{1}{w(E)}w(\{x\in\mathbb R^n:\, \mathsf M_{\mathsf S} ^w (\mathbf{1}_E)(x)>\alpha\}).$$ 我们证明存在某个仅依赖于 $w$ 和维数 $n$ 的常数 $c_{w,n}>0$，使得只要 $w\in A_\infty ^*$ 是强 Muckenhoupt 权，就有 $\mathsf C_{\mathsf S} ^w (\alpha)-1 \lesssim_{w,n} (1-\alpha)^{c_{w,n}}$（当 $\alpha\to 1^-$ 时）。