平坦权重的 $A_\infty$ 到 $A_p$ 的渐近锐嵌入及其在 Poincaré-Sobolev 不等式中的应用

我们提供了关于 Muckenhoupt 类 $A_\infty$ 嵌入 $A_p$ 的新定量结果，在 Fujii--Wilson 常数 $[w]_{A_\infty}$ 接近 1 时具有正确的渐近行为，即当权重接近常数时参数 $p$ 趋于 1。作为通向该结果的中间步骤，我们获得了关于 $A_\infty$ 权重 $w$ 的 $\log w$ 的加权和无权 BMO 范数的定量估计。作为推论，我们证明了对于具有较小 $[w]_{A_\infty}$ 的权重，可以证明一个精确的定量加权 Poincaré-Sobolev 不等式，并且当 $[w]_{A_\infty}\to 1^+$ 时，该不等式恢复经典 Sobolev 指数 $p^*=\frac{np}{n-p}$。