“小步”重构及具有任意“光滑”权重的加权估计反例

对于 $A_p$ 权重 $w$，Hilbert 变换在 $L^p(w)$ 中的范数（$1<p<\infty$）由 $[w]_{A_p}^{s}$ 估计，其中 $[w]_{A_p}$ 是权重 $w$ 的 $A_p$ 特征，且 $s = \max(1,1/(p-1))$；如幂权重简单例子所示，这些估计是尖锐的。一个自然的问题是，若用其“加厚”版本（将平均替换为类泊松平均）替代 $A_p$ 特征，是否可能改进上述估计中的指数 $s$。对于幂权重（例如 $p=2$ 且泊松平均），可见指数确有改进：但对一般权重是否成立？本文通过构造任意“光滑”权重（在加倍常数任意接近 $2$ 的意义下）的反例表明最优指数 $s$ 保持不变，因此“加厚”的 $A_p$ 特征等价于经典特征，且 $\|T\|_{L^p(w)} \sim [w]_{A_p}^{s}$。我们运用了 F. Nazarov 未发表手稿中否定 Sarason 猜想的思想。我们从二进模型的简单经典反例出发，再通过所谓的“小步构造”将其转化为具有任意二进光滑权重的例子。F.~Nazarov 曾用 Bellman 函数法证明此类例子存在，而我们的构造给出了从标准二进例子得到此类例子的途径。随后我们运用 J.~Bourgain 引入、F.~Nazarov 发展的“重构”的修正版，从二进模型例子得到 Hilbert 变换的例子。作为额外收获，我们给出了对一切 $p$（$1<p<\infty$）Sarason 猜想的 $L^p$ 类比均为假的证明。