权重的光滑性彻底消除双相泛函的 Lavrentiev 间隙

我们证明权重越光滑，双相泛函的 Lavrentiev 间隙不存在的指数范围越广，即 $u \mapsto \int_{\Omega} \left(|\nabla u|^p + a(x)|\nabla u|^q\right)\,dx$，其中 $1 \leq p \leq q < \infty$，$a(\cdot) \geq 0$。特别地，若 $a \in C^\infty$，则对 $p$ 和 $q$ 无需额外限制。对于 $a \in C^{k, \alpha}$，我们建立了最优指数范围，即 $q \leq p + (k + \alpha)\max(1, p/N)$。由此，我们扩展了此前关于 Hölder 连续 $a$ 的已知结果（即 $q \leq p + \alpha\max(1, p/N)$），表明在对 $a$ 施加更多正则性时，指数范围自然扩展。