加权$L^2$空间中的Strichartz估计与光滑化估计及其应用

本文的主要目标是回答J. A. Barceló、J. M. Bennett、A. Carbery、A. Ruiz和M. C. Vilela提出的一个开放问题，该问题涉及确定$s\geq0$和$p\geq1$的最优范围，使得以下带有Morrey-Campanato型类$\mathfrak{L}^{2s+2,p}_2$中时变权$w$的Strichartz估计成立：\begin{equation}\label{absset} \|e^{it\Delta}f\|_{L_{x,t}^2(w(x,t))}\leq C\|w\|_{\mathfrak{L}^{2s+2,p}_2}^{1/2}\|f\|_{\dot{H}^s}. \end{equation} 除了$s\geq0$的情况，我们进一步询问在此设定下能期望多少正则性。但有趣的是，结果表明当$s<0$时该估计不成立，这表明光滑化效应不能出现在这种时变设定中，且薛定谔流$e^{it\Delta}$的色散不足以产生该效应。这自然引导我们考虑在具有更强色散的高阶版本估计（$e^{-it(-\Delta)^{\gamma/2}}$，$\gamma>2$）中可能获得该效应。我们确实在这些高阶版本中获得了光滑化效应。事实上，我们将以统一方式获得$\gamma\geq1$的估计，以及相应的非齐次估计，以应用于带时变扰动的薛定谔方程和波动方程的全局适定性。这是本文的次要目标。