锥奇异性空间中的全局时间 Strichartz 估计与三次薛定谔方程

在本文中，我们研究了度量锥 $X$ 上薛定谔方程的 Strichartz 估计，其中 $X=C(Y)=(0,\infty)_r\times Y$，截面 $Y$ 是一个 $(n-1)$ 维闭黎曼流形 $(Y,h)$。对于由 $g=dr^2+r^2h$ 给出的 $X$ 上的度量 $g$，令 $\Delta_g$ 为 $X$ 上正的 Friedrichs 扩张拉普拉斯算子，$V=V_0 r^{-2}$，其中 $V_0\in\CC^\infty(Y)$ 是一个实函数，使得算子 $P:=\Delta_h+V_0+(n-2)^2/4$ 是 $L^2(Y)$ 上的严格正算子。我们建立了与算子 $\LL_V=\Delta_g+V_0 r^{-2}$ 相关的薛定谔方程的完整范围无损耗全局时间 Strichartz 估计，包括齐次和非齐次情形下的端点估计。一个新的发现表明，在 $\dot H^s$ 水平上的可容许对范围受算子 $P$ 的最小特征值影响。这额外证明了 Wang [Ann. Inst. Fourier 2006] 中的猜想，并推广了 Ford [Comm. Math. Phys. 2010] 和 Baskin-Marzuola-Wunsch [Contemp. Math. 2014] 的结果。作为一个应用，我们展示了该设定下具有三次非线性的薛定谔方程的适定性理论和散射理论，验证了 Baskin-Marzuola-Wunsch [Contemp. Math. 2014] 中的一个猜想。