H-type 群上各类色散方程的衰减估计与 Strichartz 不等式

设 $\mathcal{L}$ 为 H-type 群上的亚拉斯利算子，$\phi: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ 为光滑函数。本文的主要目标是研究由 $e^{it\phi(\mathcal{L})}$ 给定的色散半群的衰减估计。受到 Guo-Peng-Wang \cite{GPW2008} 在欧几里得空间中的工作以及 Song-Yang \cite{SY2023} 在海森伯尔群上的工作的启发，我们通过频率局部化来克服函数 $\phi$ 非齐次性带来的困难，这种局部化基于 H-type 群上的非交换傅里叶变换、拉盖尔函数和贝塞尔函数的性质，以及定点相位定理。最后，作为应用，我们推导了针对一些具体方程的新的 Strichartz 不等式，例如分数 Schrodinger 方程、四阶 Schrodinger 方程、泊克方程和 Klein-Gordon 方程，分别对应 $\phi(r)=r^\alpha$、$r^2+r$、$\sqrt{1+r^2}$、$\sqrt{1+r}$。此外，我们还证明了这些情形下的时间衰减是尖锐的。