Heisenberg 群上分数次半线性阻尼波方程

本文旨在研究 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^{n}$ 上分数次亚黎斯西算子 $(-\mathcal{L}_{\mathbb{H}})^{\alpha}$, $\alpha>0$ 的幂次型非线性阻尼波方程的 Cauchy 问题。在正阻尼项和非负质量项的存在下, 我们推导了齐次线性分数次阻尼波方程在 $\mathbb{H}^{n}$ 上的解、其时间导数以及空间导数关于 $L^2-L^2$ 的衰减估计。我们还讨论了在无质量项情况下, 当 Cauchy 数据具有额外的 $L^1$ 正则性时, 这些估计如何得到改进。此外, 在无质量项的情况下, 我们证明了对于 $2\leq p\leq 1+\frac{2\alpha}{(\mathcal{Q}-2\alpha)_{+}}$ (或 $1+\frac{4\alpha}{\mathcal{Q}}<p\leq 1+\frac{2\alpha}{(\mathcal{Q}-2\alpha)_{+}}$) 的 $L^1\cap L^2$ (或 $L^2$) Cauchy 数据在全局意义上的良好可定性。然而, 在质量项的存在下, 小数据在全局时间意义上的良好可定性 holds for $1<p \leq 1+ \frac{2\alpha}{(\mathcal{Q}-2\alpha)_{+}}$。最后, 以线性衰减估计为应用, 我们研究了在 $\mathbb{H}^{n}$ 上带正质量项的两个分数次阻尼波方程的弱耦合系统的 Cauchy 问题的良好可定性。