抽象测度空间上的正交Strichartz不等式及其应用

本文的主要目标是将某些基本不等式从单个函数扩展到正交函数系族。在论文的第一部分，我们考虑$L^2(X,\mu)$上的非负自伴算子$L$，其中$(X,\mu)$是一个测度空间。在薛定谔传播子$e^{itL}$的核$K_{it}(x,y)$满足如下形式的均匀$L^\infty$-衰减估计的假设下：\begin{equation*} \sup_{x,y\in X}|K_{it}(x,y)|\lesssim |t|^{-\frac{n}{2}},\,|t|<T_0, \text{ 对于某个 }n\geq1, \end{equation*} 其中$T_0\in(0,+\infty]$，我们建立了薛定谔传播子$e^{itL}$的Strichartz估计，并使用Frank-Sabin的对偶原理论证，将其扩展到$L^2(X)$上的无穷多费米子系统。我们还获得了一类色散半群$U(t)=e^{it\phi(L)}\psi(\sqrt{L})$的正交Strichartz估计，其中$\phi: \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$是一个光滑函数，$\psi\in C_c^\infty([\frac{1}{2},2])$。作为这些正交版本Strichartz估计的一个应用，我们证明了Schatten空间中Hartree方程的适定性。在论文的下一部分，我们获得了一些新的正交Strichartz估计，这些估计扩展了Kenig-Ponce-Vega先前关于单个函数的工作。利用这些Kenig-Ponce-Vega结果的正交版本，我们证明了傅里叶变换在形式为$S=\{(\xi, \phi(\xi): \xi\in \mathbb{R})\}$的某些特定非紧致超曲面上的正交限制定理，其中$\phi$满足一定的增长条件。