Schatten 类中的概率性 Strichartz 估计及其在 Hartree 方程中的应用

在本文中，我们考虑随机化背景下的正交系统 Strichartz 估计。Frank、Lewin、Lieb 和 Seiringer 首先证明了正交 Strichartz 估计。此后，许多作者研究了这类不等式。在本文中，我们引入两种算子的随机化，并证明它们使我们能够处理比确定性正交 Strichartz 估计的尖锐指数严格更大的 Schatten 指数。在证明中，正交性不起任何本质作用，随机性代替了它。我们还证明了我们对算子的随机化永远不会改变它们原本所属的 Schatten 类。此外，我们将我们的结果应用于无穷多粒子的 Hartree 和线性化 Hartree 方程。首先，我们在广泛的 Schatten 类中构造了 Hartree 方程的局部解。仅使用确定性正交 Strichartz 估计，在我们的设定下不可能给出任何解。接下来，我们考虑线性化 Hartree 方程的散射问题。我们的一种随机化允许我们处理具有某些 Sobolev 正则性的广泛 Schatten 类，而通过另一种随机化，我们可以去除所有 Sobolev 正则性。