抛弃非自治性与非凸变分问题中的拉弗雷维耶空隙

我们证明了在满足以下条件的标量变分问题中，拉弗雷维耶空隙（Lavrentiev gap）不会发生：\n$$\textrm{to minimize} \qquad u \mapsto \int_\Omega f(x,u,\nabla u)\,dx \, ，$$\n其中 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的有界 Lipschitz 开放集，$N\geq 1$，函数 $f$ 相对于空间变量可测、相对于第二个变量连续、相对于第三个变量凸。尽管在这些假设下拉弗雷维耶空隙可能发生，文献中已有经典例子。我们识别了一个额外的自然条件来抛弃此类现象，可解释为对第一个变量变化与第三个变量增长之间的平衡。这统一了目前为防止拉弗雷维耶空隆引入的大多数结构假设。值得注意的是，本文摒弃了通常施加在 $f$ 上的典型假设：我们不要求 $f$ 有界或相对于第二个变量凸，也不施加第三个变量的任何 $\Delta_2$ 型条件。