一类具有次二次增长条件的非自治障碍问题解的正则性结果

我们针对如下形式的非自治障碍问题的解建立了若干高可微性结果：\begin{equation*} \min \left\{\int_{\Omega}f\left(x, Dv(x)\right)dx\,:\, v\in \mathcal{K}_\psi(\Omega)\right\}, \end{equation*} 其中函数 $f$ 关于梯度变量满足 $p-$增长条件，$1<p<2$，$\mathcal{K}_\psi(\Omega)$ 为容许函数类。本文证明，若障碍 $\psi$ 有界，则只要偏映射 $x\mapsto D_\xi f(x,\xi)$ 属于 Sobolev 空间 $W^{1, p+2}$，障碍 $\psi$ 梯度的 Sobolev 正则性假设即可转移到解的梯度上。此处的新颖之处在于我们处理了关于梯度变量的次二次增长条件，即 $f(x, \xi)\approx a(x)|\xi|^p$，其中 $1<p<2$，且映射 $a$ 属于 Sobolev 空间。