一类具有次二次增长条件的非自治障碍问题解的高阶可微性结果

我们针对如下形式的非自治障碍问题的解建立了整数阶与分数阶的高阶可微性结果 \begin{equation*} \min \left\{\int_{\Omega}f(x, Dv(x))\,:\, v\in \mathcal{K}_\psi(\Omega)\right\}, \end{equation*} 其中函数 $f$ 关于梯度变量满足 $p-$增长条件，$1<p<2$，且 $\mathcal{K}_\psi(\Omega)$ 为满足条件 $v\ge\psi$ 在 $\Omega$ 中几乎处处成立的容许函数类 $v\in u_0+W^{1, p}_0(\Omega)$，其中 $u_0\in W^{1,p}(\Omega)$ 为固定边界数据。此处我们证明，只要偏映射 $x\mapsto D_\xi f(x,\xi)$ 属于合适的 Sobolev 或 Besov 空间，障碍 $\psi$ 梯度的 Sobolev 或 Besov-Lipschitz 正则性假设便可传递到解的梯度上。这里的创新之处在于我们处理的是关于梯度变量的次二次增长条件，即 $f(x, \xi)\approx a(x)|\xi|^p$，其中 $1<p<2$，且映射 $a$ 属于 Sobolev 或 Besov-Lipschitz 空间。