带状态约束的一维非自治泛函避免 Lavrentiev 间隙

设 $F(y):=\displaystyle\int_t^TL(s, y(s), y'(s))\,ds$ 为一个正泛函（“能量”），不必自治，定义于 Sobolev 函数空间 $W^{1,p}([t,T]; \mathbb R^n)$（$p\ge 1$）上。我们考虑在可能满足一个或两个端点条件的函数 $y$ 中最小化 $F$ 的问题。在许多应用中，由于缺乏正则性、凸性或增长条件而不能保证 $F$ 极小元的存在，此时能够通过满足给定边界条件的 Lipschitz 函数序列逼近 $F$ 的下确界值是重要的。有时，即便速度变量上具有某些多项式的、强制的且凸的拉格朗日量，从而保证了给定 Sobolev 空间中极小元的存在，这也无法实现：此事实被称为 Lavrentiev 现象。本文研究在附加如下状态约束 $y(s)\in\mathcal S\subset\mathbb R^n$（对所有 $s\in [t,T]$）成立时避免 Lavrentiev 现象的问题。给定 $y\in W^{1,p}([t,T];\mathbb R^n)$ 且 $F(y)<+\infty$，我们给出一种构造性方法，用以构建 $y$ 的 Lipschitz 重参数化序列 $(y_h)_h$，其与 $y$ 共享相同的边界条件，并在能量上收敛到 $F(y)$。相较于该主题已有文献，我们区分了仅一个端点条件与两个端点条件的情况，扩大了满足充分条件的拉格朗日量类，并证明 $(y_h)_h$ 也在 $W^{1,p}$ 中收敛到 $y$。此外，结果亦适用于有效域有界的扩展值拉格朗日量。即便对自治拉格朗日量，即形如 $L(s,y,y')=\Lambda (y,y')$ 者，本文结果也给出了新的线索。本文延续作者在该主题上的两篇近期论文 [23, 24]。