针对一类呈现 Lavrentiev 间隙现象的变分问题的增强有限元方法

本文提出了一种增强有限元方法，用于逼近一类呈现 Lavrentiev 间隙现象的变分问题。所谓间隙现象，是指当能量泛函在空间 $W^{1,1}$ 和 $W^{1,\infty}$ 上分别极小化时，其最小值之间存在非平凡间隙。为补救标准有限元方法对此类变分问题不收敛的缺陷，本文采用一种简单有效的截断策略来设计（增强有限元）离散能量泛函。本质上，所提出的离散能量泛函通过将其输入的导数限制在 $O(h^{-\alpha})$ 尺度（其中 $h$ 表示网格尺寸，$\alpha$ 为某正常数）上来抑制间隙现象。文中给出了确定问题依赖参数 $\alpha$ 的一个充分条件。大量一维和二维数值实验结果展示了所提增强有限元方法的收敛行为与性能。