关于凸向量积分泛函的拉夫连季耶夫间隙

我们证明了对如下形式向量积分泛函不存在拉夫连季耶夫（Lavrentiev）间隙：$$F: g+W_0^{1,1}(\Omega)^m\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\},\qquad F(u)=\int_\Omega W(x,\mathrm{D} u)\,\mathrm{d}x,$$其中边界数据$g:\Omega\subset \mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^m$充分正则，$\xi\mapsto W(x,\xi)$凸且下半连续，满足从下方的$p$增长及从上方的适当增长条件。更确切地说，若$p\leq d-1$，我们假设从上方有$q$增长且$q\leq \frac{(d-1)p}{d-1-p}$；而当$p>d-1$时，我们基本不要求从上方有增长条件，并允许无界被积函数。关于$x$依赖性，我们施加一个著名的局部稳定性估计，该估计在自治情形下冗余，但在一般非自治情形中可进一步限制增长假设。