关于某些定量 Muckenhoupt-Wheeden 不等式的尖锐性

在 Cruz-Uribe 等人最近的工作中得到了 $$|\{x\in{\mathbb{R}^d}:w(x)|G(fw^{-1})(x)|>\alpha\}|\lesssim\frac{[w]_{A_1}^2}{\alpha}\int_{{\mathbb{R}^d}}|f|dx$$ 在矩阵和标量两种情形下均成立，其中 $G$ 是 Hardy-Littlewood 极大函数或任意 Calder\'on-Zygmund 算子。在本注记中，我们证明了关于 $[w]_{A_1}$ 的二次依赖关系是尖锐的。这是通过构造一列具有爆裂特征的标量值权函数来实现的，使得 Hilbert 变换和极大函数对应的界恰好是二次的。