Grothendieck常数是Strassen矩阵乘法张量的范数

我们证明了来自复杂性理论两个不同领域的两个重要量——Strassen矩阵乘法指数 $\omega$ 与 Grothendieck常数 $K_G$——之间存在密切联系。它们是同一底层对象的不同大小度量,该对象即矩阵乘法张量,也就是在 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上由矩阵-矩阵乘积定义的 $3$-张量或双线性算子 $\mu_{l,m,n} : \mathbb{F}^{l \times m} \times \mathbb{F}^{m \times n} \to \mathbb{F}^{l \times n}$, $(A,B) \mapsto AB$。众所周知,Strassen矩阵乘法指数是 $\mu_{l,m,n}$ 的张量秩的(对数的)最大下界。我们将证明 Grothendieck常数是 $\mu_{l,m,n}$ 的张量范数的最小上界,取遍所有 $l, m, n \in \mathbb{N}$。除了关联这两个著名量之外,这一见解使我们能够将 Grothendieck不等式重写为范数不等式 $$\lVert\mu_{l,m,n}\rVert_{1,2,\infty} =\max_{X,Y,M\neq0}\frac{|\operatorname{tr}(XMY)|}{\lVert X\rVert_{1,2}\lVert Y\rVert_{2,\infty}\lVert M\rVert_{\infty,1}}\le K_G.$$ 我们证明 Grothendieck不等式是唯一的:如果我们将 $(1,2,\infty)$-范数推广到任意 $p,q, r \in [1, \infty]$, $$\lVert\mu_{l,m,n}\rVert_{p,q,r}=\max_{X,Y,M\neq0}\frac{|\operatorname{tr}(XMY)|}{\|X\|_{p,q}\|Y\|_{q,r}\|M\|_{r,p}},$$ 那么 $(p,q,r )=(1,2,\infty)$ 是在循环置换意义下,使得 $\lVert\mu_{l,m,n}\rVert_{p,q,r}$ 被一个与 $l,m,n$ 无关的常数一致界定的唯一选择。