再探 Grothendieck 不等式

经典的 Grothendieck 不等式被视为关于离散域上二元函数通过单变量函数二重乘积的积分来表示的命题。本文证明了一个类似的命题，涉及一般拓扑域上的二元连续函数。主要结果是构造了一个从 $l^2(A)$ 到 $L^2(\Omega_A, P_A)$ 的连续映射 $\Phi$，其中 $A$ 是一个集合，$\Omega_A = {-1,1}^A$，$P_A$ 是 $\Omega_A$ 上的均匀概率测度，使得 \sum_{\alpha \in A} x(\alpha) \bar{y}(\alpha)} = \int_{\Omega_A} \Phi(x)\Phi(\bar{y})dP_A, x \in l^2(A), y \in l^2(A), 且 $$|\Phi(x)|_{L^{\infty}} \leq K |x|_2, x \in l^2(A),$$ 其中 $K > 1$ 为绝对常数。（$\Phi$ 是非线性的，且不与复共轭交换。）上述类 Parseval 双线性公式是通过在二进群的调和分析框架下迭代通常的 Parseval 公式得到的。改进后的构造意味着 $l^p$ 和 $l^q$ 之间对偶作用的类似积分表示，\ $1/p + 1/q= 1$。本文还推导了更高维度的类 Parseval 公式。这些变体涉及将 $n$ 元函数用 $k$ 元函数表示，其中 $0 < k < n$。此外，本文还得到了 Grothendieck 不等式的多重线性推广，并用于刻画 Hilbert 空间上多重线性泛函积分表示的可行性。