方程 AXB-C=0 的加权最小二乘解

设 $\mathcal{H}$ 为Hilbert空间，$L(\mathcal{H})$ 为 $\mathcal{H}$ 上有界线性算子的代数，$W \in L(\mathcal{H})$ 为正算子且 $W^{1/2}$ 属于 p-Schatten 类（对于某个 $1 \leq p< \infty$）。给定闭值域的 $A, B \in L(\mathcal{H})$ 及 $C \in L(\mathcal{H})$，我们研究以下加权逼近问题：分析 \begin{equation}\label{eqa1} \underset{X \in L(\mathcal{H})}{min}\Vert AXB-C \Vert_{p,W}, \ \ \ \ (1) \end{equation} 的存在性，其中 $\Vert X \Vert_{p,W}=\Vert W^{1/2}X \Vert_{p}$。我们还研究了相关的算子逼近问题：分析 \begin{equation} \label{eqa2} \underset{X \in L(\mathcal{H})}{min} (AXB-C)^{*}W(AXB-C), \ \ \ \ (2) \end{equation} 的存在性，其中的序是由正算子锥在 $L(\mathcal{H})$ 中诱导的。本文证明了 (2) 的极小值存在等价于正规方程 $A^*W(AXB-C)=0$ 的解存在。我们还给出了 (1) 的极小值存在的充分条件，并刻画了使极小值得以实现的算子。