可分希尔伯特空间上希尔伯特-施密特算子的广义秩约束逼近及其应用

在本文中，我们针对作用于可能无限维可分希尔伯特空间上的给定有界算子 $B$、$C$ 和希尔伯特-施密特算子 $M$，求解降秩逼近问题 $\min\{\lVert M-BXC\rVert_{L_2}:\ \text{dim ran}\ X\leq r\}$。这推广了 Sondermann (Statistische Hefte, 1986) 和 Friedland 与 Torokhti (SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 2007) 的结果，后者在矩阵 $M$、$B$、$C$、$X$ 的情形下研究了该问题，其分析涉及摩尔-彭罗斯逆。在可通过奇异值分解或摩尔-彭罗斯逆求解的经典逼近问题中，解满足极小范数性质。Friedland 和 Torokhti 给出了解的此类极小范数性质。我们表明该极小范数性质在一般情况下不成立，并给出了一个确实成立的修正极小性性质。我们表明解在无限维情形下可能不连续。我们给出解连续性的条件，并在这些条件不满足时构造连续逼近。最后，我们在秩约束下研究了信号处理、降秩回归和线性算子学习中的问题。我们的理论结果使我们能够显式地找到这些问题的解，并刻画其存在性、唯一性和极小性性质。