对称矩阵域上的 Radon 变换

设 $\bbK=\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H$ 为实数、复数或四元数域，$M_{p, q}(\bbK)$ 为所有 $p\times q$ 矩阵构成的向量空间。设 $X$ 为 $M_{n-r, r}(\bbK)$ 中由压缩矩阵构成的矩阵单位球。作为对称空间，$X=G/K=O(n-r, r)/O(n-r)\times O(r)$，$U(n-r, r)/U(n-r)\times U(r)$ 以及分别为 $Sp(n-r, r)/Sp(n-r)\times Sp(r)$。$M_{r^\prime-r, r}$ 中的矩阵单位球 $y_0$（其中 $r^\prime \le n-1$）是 $X$ 的全测地子流形，设 $Y$ 为子流形 $y_0$ 的所有 $G$ 平移构成的集合。集合 $Y$ 是一个流形且为仿射对称空间。我们考虑函数 $f\in C_0^\infty(X)$ 的 Radon 变换 $\mathcal Rf(y)$，其定义为 $f$ 在子集 $y$ 上的积分，以及定义在 $Y$ 上的函数 $F(y)$ 的对偶变换 $\mathcal R^t F(x), x\in X$。我们通过构造特定的显式不变微分算子得到了反演公式。