离散 Poincaré 和 Friedrichs 不等式中的常数与离散准插值

本文在 $n$ 维空间的单纯形 $K$ 上提供了具有显式常数的离散 Poincaré 不等式。该不等式通过 $C(n)\operatorname{diam}(K)$ 限制了在 $K$ 上积分均值为零且沿所有内部边跳跃积分为零的函数的分段导数范数与其 Lebesgue 范数之间的关系。在使用最新顶点二分法的自适应三角剖分情况下，显式常数 $C(n)$ 仅依赖于维度 $n=2,3$。本文第二部分证明了一个增广算子的稳定性，从而导出了应用于离散 Friedrichs 不等式和离散可靠性估计证明中的（离散）准插值算子的稳定性和逼近性，并给出了以三角剖分中最小角 $\omega_0$ 表示的常数显式界。该分析允许对适应性公理中的两个常数 $\Lambda_1$ 和 $\Lambda_3$ 进行界定，从而在保证最优收敛率的前提下实际选择 bulk 参数。