随机点、凸体与格

假设 $K$ 是 $R^d$ 中的凸体，$X$ 是 $K$ 的一个（大）有限子集。有多少个凸多面体其顶点取自 $X$？此类多面体的典型形状是什么？最大的此类多面体（实为 $\conv X$）在多大程度上逼近 $K$？我们主要在两种情形下关注这些问题。第一种是 $X$ 为从 $K$ 中均匀独立抽取的 $n$ 个随机样本，其动机来自 Sylvester 四点问题与随机多面体理论。第二种是 $X=K \cap Z^d$，其中 $Z^d$ 是 $R^d$ 中的整数点格。其动机来自整数规划与数的几何。这两种情形的表现颇为相似。