凸格点多边形线极限形状的反问题

已知 $\mathbb{Z}_+^2$ 上的随机凸多边形线（端点固定在 $0=(0,0)$ 和 $n=(n_1,n_2)\to\infty$）在均匀概率测度下具有极限形状，被识别为抛物线弧 $\sqrt{c\myp(1-x_1)}+\sqrt{x_2}=\sqrt{c}$，其中 $n_2/n_1\to c$。本文关注极限形状的反问题。我们证明，对于任何始于原点的严格凸、$C^3$ 光滑弧 $\gamma\subset\mathbb{R}_+^2$，在凸多边形线上存在一个概率测度 $P_n^\gamma$，使得曲线 $\gamma$ 成为其极限形状。