正 $\kappa$ 边形内 $n$ 个点处于凸位置的概率：渐近结果

令 $\mathbb{P}_{\kappa}(n)$ 为在面积为 $1$ 的正 $\kappa$ 边形 $\mathfrak{C}_\kappa$ 中均匀且独立地随机选取的 $n$ 个点 $z_1,\ldots,z_n$ 处于凸位置（即构成一个凸多边形的顶点集）的概率。在本文中，我们对所有 $\kappa\geq 3$ 给出了 $\mathbb{P}_{\kappa}(n)$ 的一个等价表达式，这改进了 Bárány 的一个著名结果。本文的第二个目标是建立一个极限定理，描述当 $n\to+\infty$ 时，处于凸位置的 $n$ 个点的极限形状周围的波动。最后，我们给出了一个渐近精确的算法，用于在 $\mathfrak{C}_\kappa$ 中随机生成条件为处于凸位置的 $z_1,\ldots,z_n$。