meandric 系统中的连通分支与无限 noodle

我们在此研究大型典型 meandric 系统的渐近行为。更确切地说，我们证明了在 $2n$ 个点上的随机均匀 meandric 系统 $M_n$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时，向 Curien、Kozma、Sidoravicius 与 Tournier（《Ann. Inst. Henri Poincaré D》，{6}(2):221--238，2019）引入的无限 noodle 的 quenched 局部收敛。作为推论，记 $cc( M_n)$ 为 $M_n$ 的连通分支数，我们证明了 $cc(M_n)/n$ 依概率收敛到某常数 $\kappa$，回答了 Goulden--Nica--Puder（《Int. Math. Res. Not.》，2020(4):983--1034，2020）与 Kargin（《Journal of Statistical Physics》，181(6):2322--2345，2020）各自独立提出的一个问题。该结果也提供了关于非交叉划分格的 Hasse 图渐近几何的信息。最后，我们将常数 $\kappa$ 表示为对 meander 的无穷级数，从而得以计算 $\kappa$ 的上下近似。