关于到交叉多面体的 Banach-Mazur 距离

设 $n\geq 3$，令 $B_1^n$ 为标准 $n$ 维交叉多面体（即标准坐标向量及其相反向量的凸包）。我们证明在 ${\mathbb R}^n$ 中存在一个对称凸体 $\mathcal G_m$，使得 Banach--Mazur 距离 $d(B_1^n,\mathcal G_m)$ 满足 $d(B_1^n,\mathcal G_m)\geq n^{5/9}\log^{-C}n$，其中 $C>0$ 为一个普适常数。该凸体 $\mathcal G_m$ 取自 ${\mathbb R}^n$ 中具有 $2m:=2n^C$ 个顶点（对大常数 $C$）的随机多面体的一个典型实现。该结果改进了 S.Szarek 早先的估计 $d(B_1^n,\mathcal G_m)\geq c n^{1/2}\log n$（取不同的 $m$）。这以强意义表明交叉多面体（或立方体 $[-1,1]^n$）不能是 Minkowski 紧化的“近似”中心。