具有任意增长非线性的分数阶椭圆系统

在本文中，我们讨论了在 $\mathbb{R}^n$ 中光滑有界区域 $\Omega$ 上以下耦合半线性 Poisson 方程组的解的存在性、唯一性和正则性： \left\{{llll} \mathcal{A}^s u= v^p & {\rm in} \ \ \Omega \\ \mathcal{A}^s v = f(u) & {\rm in} \ \ \Omega \\ u= v=0 & {\rm on} \ \ \partial\Omega \right. 其中 $s\in (0, 1)$ 且 $\mathcal{A}^s$ 表示谱分数阶 Laplace 算子。我们假设 $1< p<\frac{2s}{n-2s}$，且函数 $f$ 是超线性的且无增长限制（例如 $f(r)=re^r$）；因此该系统具有非平凡解。另一个重要例子由 $f(r)=r^q$ 给出。在这种情况下，我们证明当 $n > 2s$ 时，对于临界双曲线 $$\frac{1}{p + 1} + \frac{1}{q + 1} = \frac{n - 2s}{n}$$ 下方的一对 $(p,q)$ 的特定集合，这样的系统至少允许一个正解。对于这样的弱解，我们证明了 Brezis-Kato 类型的 $L^\infty$ 估计，并推导了弱解的正则性性质。