调和函数节点集的无界拓扑

对于每个整数 $n\ge 3$，每个 $1\le \ell\le n-2$，以及每个足够大的整数 $m$，我们在单位球 $B_1(0)\subset\mathbb{R}^n$ 上构造调和函数 $u_{m,\ell}$，使得频率独立于 $m$ 地保持有界，单位球 $B_{1/2}(0)$ 内的每个节点集 $\{u_{m,\ell}=0\cap B_{1/2}(0)\}$ 点都为正则点，但满足\n\begin{align*}\nb_\ell\bigl(\{u_{m,\ell}=0\}\cap B_{1/2}(0)\bigr)\ge 2m.\end{align*}\n因此，即使频率受限且节点集正则，仍不必然导致拓扑的均匀界限。这些例子特别是对林与刘声称的全局 Betti 数界限的反例。