作为边界的仿射分形及其调和分析

我们引入分形傅里叶展开的边界表示概念，从仿射分形测度的谱对这一熟悉概念出发。特别地，在一维情形下，我们建立了这些分形的边界表示。我们证明，作为集合，这些分形出现在Hardy空间$H^2$的闭子空间中函数的边界上。这意味着存在非负整数的缺项子集$\Gamma$，以及Hardy空间$H^2(\bd)$（$\bd$表示单位圆盘）中相关的闭$\Gamma$-子空间，使得对于$H^2(\Gamma)$中的每个函数$f$和$\bd$中的每个点$z$，$f(z)$允许一个由关联测度$\mu$表示的边界积分，积分区域$\supp{\mu}$位于圆周\bt := \{bd}(\bd)上的一个Cantor子集上。我们研究以下配对族：测度$\mu$和缺项形式的集合$\Gamma$，它们在$L^2(\mu)$中允许缺项傅里叶级数；即，具有几何级数形式的空间距或缺失部分（间隙）的配置$\Gamma$。给定$\Gamma$，我们找到相应的广义Szegő核$G_\Gamma$，并将其与$\bd$的经典Szegő核进行比较。我们不是采用更传统的方法——从$\mu$出发，然后询问可能的集合$\Gamma$以获得傅里叶级数表示——而是将问题颠倒过来；现在从一个可数无穷离散子集$\Gamma$出发，并在一个新的对偶框架内，研究测度$\mu$的选择可能性。