分形上奇异积分的数值求积

我们提出并分析了用于计算自相似分形集上正则与奇异积分的数值求积法则。积分区域 Γ ⊂ R^n 假定为满足开集条件的压缩相似迭代函数系统的紧吸引子。积分是关于 Γ 上任意“不变”（亦称“平衡”或“自相似”）测度进行的，特别包括限制在 Γ 上的 Hausdorff 测度 H^d，其中 d 为 Γ 的 Hausdorff 维数。我们考虑了单重与双重积分。我们的重点是复合求积法则，其中 Γ 上的积分被分解为 Γ 的若干自相似子集的合适划分上的积分之和。对于对数型或代数型的某些奇异被积函数，我们展示了在此种划分背景下如何利用测度的不变性将奇异积分精确表示为正则积分的组合。对于这些正则积分的求值，我们采用复合重心法则，该法则对充分正则的被积函数相对于子集的最大直径呈现二阶收敛。作为应用，我们展示了该方法结合奇异性减去技术，如何用于精确计算分形屏声散射的 Hausdorff 测度 Galerkin 边界元方法中出现的奇异双重积分。