分形屏声散射的边界元方法

我们研究 $\mathbb{R}^n$ ($n=2,3$) 中由分形平面屏引起的时谐散射的边界元方法，该屏假定为超平面 $\Gamma_\infty=\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}$ 的非空有界子集 $\Gamma$。我们考虑两种不同情形：(i) $\Gamma$ 是 $\Gamma_\infty$ 的具有分形边界的相对开子集（例如当 $n=3$ 时 Koch 雪花的内部）；(ii) $\Gamma$ 是 $\Gamma_\infty$ 的具有空内部的紧致分形子集（例如当 $n=3$ 时 Sierpinski 三角形）。在这两种情形下，我们的数值模拟策略都用一列更光滑的“预分形”屏来逼近分形屏 $\Gamma$，并对这些预分形屏使用离散化相关第一类边界积分方程的边界元方法计算散射场。我们利用 Mosco 收敛的框架，证明了保证收敛到极限分形解的网格尺寸的充分条件。我们还提供了说明我们理论结果的数值例子。