具有非空内部的迭代函数系统吸引子属性、相关粗糙域及其关联函数空间与散射问题

我们研究具有非空内部 $\Omega$ 的分形集 $\Gamma\subset \mathbb{R}^n$，其为收缩相似函数系统（IFSs）的吸引子，且满足开集条件。$n=2$ 的例子包括科赟雪花域闭合区域和 Gosper 岛屿域的闭合区域。我们的第一个结果表明 $\Omega$ 在 Triebel 意义上是厚的。这一结果的一个推论是 $C_0^\infty(\Omega)$ 对所有 $s\in\mathbb{R}$ 都稠密于 Sobolev 空间 $H^s_\Gamma:= \{\phi\in H^s(\mathbb{R}^n): \mathrm{supp}(\phi)\subset \Gamma\}$。我们的第二个结果，伴随关于特征函数点乘和均匀延拓算子的结果，表明空间 $\{H^s(\Omega)\}_{s\in \mathbb{R}}$（其中 $H^s(\Omega):=\{\phi|_\Omega: u\in H^s(\mathbb{R}^n)\}$）形成插值比例。这一结果作为厚且边界 Assouad 维数小于 $n$ 的大类域 $\Omega$ 的新型延拓和插值结果的特例得到建立。我们第三项贡献是证明在分数负阶 Sobolev 空间中，对由 IFS 生成的“分形网格”上的分片常数近似，在该网格中网格单元为 $\Gamma$ 的自相似复制品。作为应用，我们研究由分形屏幕 $\Gamma\times \{0\}$ 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的声软声学散射。利用我们稠密性结果，我们证明了该问题的标准 PDE 表述等价于标准的第一类边界积分方程，其中边界条件通过对屏幕（相对）内部的限制实现。为求解该方程，我们在分形网格上采用分片常数 Galerkin 边界元方法，并利用我们的最佳逼近误差估计，证明了 Galerkin 近似收敛。