分形屏散射的适定 PDE 与积分方程表述

我们考虑嵌入 $\mathbb{R}^n$（$n = 2$ 或 $3$）中的平面声软（Dirichlet）和声硬（Neumann）屏的时谐声散射。与先前研究中假设屏是平面的有界 Lipschitz（或更光滑）相对开子集不同，我们考虑占据平面任意有界子集的屏。因此，我们的研究包括屏为具有分形边界或确实具有正曲面测度的相对开集的情况，以及屏具有空内部且为分形或确实具有正曲面测度的情况。我们阐明了对于哪些屏几何形状，屏散射的经典表述是适定的，并表明如果屏边界的 Hausdorff 维数大于 $n-2$，则声硬散射的经典表述不适定。我们还提出了新颖的适定边界积分方程（BIE）和边值问题（BVP）表述，适用于任意有界屏。事实上，我们表明，对于足够不规则的屏，存在整族的适定表述，具有无穷多个不同的解，这些不同的表述通过理解边界条件的方式加以区分。为了选择物理上正确的解，我们提出了极限几何原理，即对一系列更规则屏的收敛序列取解的极限，这对于那些存在标准预分形近似序列的分形屏来说是一个自然的过程。我们展示了表现出有趣物理行为的例子，包括波穿透其中带有“孔洞”的屏，而这些“孔洞”没有内部点，因此屏及其闭包散射不同。我们的结果依赖于非 Lipschitz 集上分数阶 Sobolev 空间的微妙而有趣的性质。