用于分形屏声散射的 Hausdorff 测度边界元方法

软声分形屏即使具有零表面积测度也能散射声波。为解决此类散射问题，我们进行了似乎是边界元方法（BEM）的首次应用：其中每个 BEM 基函数的支撑集为分形集，且 BEM 矩阵形成中所涉及的积分是相对于非整数阶 Hausdorff 测度而非通常的（Lebesgue）表面积测度进行的。利用近期关于分形上函数空间的结果，我们证明了该“Hausdorff BEM”在 $\mathbb{R}^{n+1}$（$n=1,2$）中声散射的 Galerkin 格式的收敛性，其中假设散射体为 $\mathbb{R}^n\times\{0\}$ 的紧子集，且是某个 $d\in (n-1,n]$ 的 $d$-集，从而特别地，散射体具有 Hausdorff 维数 $d$。对于一类作为迭代函数系统吸引子的分形，在底层边界积分方程解的某些自然正则性假设下，我们证明了 Hausdorff BEM 的收敛率以及对光滑反线性泛函的超收敛。我们还提出了用于实现 Hausdorff BEM 的数值求积例程，并通过数值（Hausdorff 测度）积分估计和分形上的逆估计给出了完整的离散收敛分析，估计了离散条件数。最后，我们展示了支持理论结果尖锐性以及解正则性假设的数值实验，包括在 $\mathbb{R}^2$ 中由 Cantor 集散射及在 $\mathbb{R}^3$ 中由 Cantor 尘散射的结果。