奇异求积法则与傅里叶谱方法的快速卷积

我们提出了一种通用方案，用于构造具有谱精度的校正梯形法则，以处理任意维度中带有弱奇异核的积分算子。我们假设核具有 $K=\alpha\phi+\widetilde{K}$ 形式的因式分解，其中 $\alpha$ 和 $\widetilde{K}$ 是光滑的，从而可以基于标准傅里叶谱方法精确地对光滑因子进行操作。为了实现高精度结果，我们的方法利用了径向奇异性 $\phi$ 的傅里叶系数的精确评估，这可以通过本文描述的奇异性隔离/截断在任意维度中获得。我们提供了一套完整的公式，适用于 $\log(r)$ 和 $r^{-\nu}$ 类型的奇异性。收敛性分析表明，所构造的求积法则展现出与应用于非奇异被积函数的梯形法则几乎相同的收敛速率。特别是对于光滑数据，校正梯形法则具有超代数收敛性。