n维一类弱奇异积分的修正梯形公式

本文提出并分析了一类n维弱奇异积分$I = \int_{\mathbb{R}^n}\phi(x)s(x)dx$的通用任意高阶修正梯形公式，其中对某些足够大的$N$有$\phi\in C_c^N(\mathbb{R}^n)$，$s$为弱奇异核。所允许的弱奇异核类要求$s$满足伸缩与对称性质，且足够宽泛以包含形如$\frac{P(x)}{|x|^r}$的函数，其中$r > 0$，$P(x)$为任意单项式且满足$\text{deg} P < r < \text{deg} P + n$。该修正梯形公式为奇异 puncture 梯形公式加上涉及奇异点附近网格点修正权重的修正项。修正权重通过强制求积公式精确计算若干单项式并求解相应线性系统来确定。此类方法长期以来的一个难点在于建立线性系统的非奇异性，尽管有强烈的数值证据支持。利用代数-组合论证，我们证明了非奇异性始终成立，并给出了修正求积公式的一般收敛阶。我们给出数值实验以验证收敛阶。