具有代数奇点和驻点的高频振荡积分的Filon-Clenshaw-Curtis规则

本文提出并分析了形如$I_{k}^{[a,b]}(f,g) := \int_a^b f(x) \exp(\mathrm{i}kg(x)) \rd x$的积分的复合Filon-Clenshaw-Curtis求积规则，其中$k \geq 0$，$f$可能具有可积奇点，$g$可能具有驻点。我们的复合规则定义在具有$M$个子区间的网格上，需要$MN+1$次$f$的求值。它满足形如$C_N k^{-r} M^{-N-1 + r}$的误差估计，其中$r$由$f$中任何奇点的强度和$g$中任何驻点的阶数决定，$C_N$是一个与$k$和$M$无关但与$N$有关的常数。误差估计中明确给出了$f$和$g$的正则性要求。对于固定的$k$，当$M \rightarrow \infty$时规则的收敛速度与$f$光滑时相同。此外，当$k \rightarrow \infty$时，求积误差的衰减速度至少与原始积分$I_{k}^{[a,b]}(f,g)$一样快。对于非线性振荡器$g$，算法需要在非驻点处计算$g^{-1}$。数值结果证明了理论的精确性。给出了在高频Helmholtz方程边界积分方法实现中的应用。