用于多维振荡积分的 Filon-Clenshaw-Curtis-Smolyak 法则及其在 Helmholtz 方程 UQ 问题中的应用

在本文中，我们将用于多维插值的 Smolyak 技术与用于一维振荡积分的 Filon-Clenshaw-Curtis（FCC）法则相结合，得到一种新的 Filon-Clenshaw-Curtis-Smolyak（FCCS）法则，用于计算 $d$ 维立方体 $[-1,1]^d$ 上具线性相位的振荡积分。通过将 FCC 法则的稳定性与收敛估计与 Smolyak 插值算子的误差估计相结合，我们获得了 FCCS 法则的误差估计，它由 Smolyak 型误差估计的乘积乘以一个随 $\mathcal{O}(k^{-\tilde{d}})$ 递减的项组成，其中 $k$ 为波数，$\tilde{d}$ 为振荡维数。若所有维均振荡，则估计中出现 $k$ 的更高负幂次。作为一个应用，我们考虑具有波数 $k$ 和以仿射方式依赖于 $d$ 个独立同分布均匀随机变量的随机非均匀折射率的一维空间 Helmholtz 问题的不确定性量化（UQ）正问题。在应用经典混合数值-渐近近似后，该问题解的泛函的期望可表述为 $[-1,1]^d$ 上振荡积分之和，我们使用 FCCS 法则进行计算。我们给出了 FCCS 法则与 UQ 算法的数值结果，显示当 $k$ 与法则阶数同时增加时精度提高。我们还给出了维度自适应稀疏网格 FCCS 求积的结果，显示了其在维度增长时的高效性。