随机化Smolyak算法的显式误差界及其在无限维积分中的应用
数值分析
2021-09-21 v1
摘要
Smolyak方法，也称为双曲交叉逼近或稀疏网格方法，是一种强有力的工具，仅借助相应单变量问题的高效算法即可处理多元张量积问题。本文研究随机化情形，即对Smolyak方法进行随机化。我们给出了随机化Smolyak算法的误差上下界，其中显式给出了对变量个数及所用信息评价次数的依赖关系。我们考虑的误差准则为最坏情形均方根误差（随机算法的典型误差准则，常称为“随机误差”）与均方根最坏情形误差（常称为“最坏情形误差”）。随机化Smolyak算法可作为多层算法、多元分解方法或按维积分方法等高效方法的构建模块，以成功处理高维甚至无限维问题。作为一个例子，我们就加权再生核Hilbert空间上无限维积分的N阶最小误差的收敛速度给出了一个非常一般且锐利的结果。此外，我们还能刻画那些随机算法优于确定性算法的无限维积分空间。我们就加权Korobov空间的特殊情形说明了我们的发现。我们指出了这些结果如何推广，例如推广到逐变量光滑依赖性递增的函数空间（“递增光滑性空间”）以及L2-逼近（函数恢复）问题。
引用
@article{arxiv.1903.02276,
title = {Explicit error bounds for randomized Smolyak algorithms and an application to infinite-dimensional integration},
author = {Michael Gnewuch and Marcin Wnuk},
journal= {arXiv preprint arXiv:1903.02276},
year = {2021}
}