基于能量范数的稀疏网格采样用于 $H^\gamma$ 中 Sobolev 型函数的最优恢复

我们研究了嵌入 $H^{\alpha,\beta} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow H^\gamma (\mathbb{T}^d)$ 的线性采样数的收敛速率。此处 $\alpha$ 控制混合光滑性，$\beta$ 控制混合光滑性空间 $H^{\alpha,\beta}(\mathbb{T}^d)$ 中的各向同性光滑性，而 $H^{\gamma}(\mathbb{T}^d)$ 表示各向同性 Sobolev 空间。若 $\gamma>\beta$，我们获得了由基于“基于能量范数的稀疏网格”的采样算子实现的第一个嵌入的尖锐多项式衰减率，该算子用于经典三角插值。这补充了 Griebel、Knapek 以及 D\~ung、Ullrich 的早期工作，其中考虑了一般线性逼近。此外，我们研究了嵌入 $H^\alpha_{mix} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow H^{\gamma}_{mix}(\mathbb{T}^d)$，并在应用于经典三角插值的 Smolyak 算法上实现了最优性。这可应用于研究嵌入 $H^\alpha_{mix} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow L_q(\mathbb{T}^d)$（其中 $2<q\leq \infty$）的采样数，此时 Smolyak 算法再次产生最优阶。在上述情形中，采样数的精确衰减率总是与逼近数的衰减率一致，除非可能在极限情形 $\beta = \gamma$（包括嵌入到 $L_2(\mathbb{T}^d)$）。我们在那里能证明的最好结果是一个（可能）非尖锐的结果，其上下界之间存在对数间隙。