通过离散 Littlewood-Paley 型刻画实现混合阶 Sobolev 嵌入的最优采样恢复

本文考虑具有 $L_p$ 有界混合导数的多元周期函数 $f$ 的 $L_q$-逼近。重建算法（可能是非线性的）假定从离散的 $n$ 个采样节点集合上采样的函数值中恢复函数。总体性能用（非）线性采样宽度 $\varrho_n$ 衡量。我们在基于特别定制的离散 Littlewood-Paley 型刻画的支配混合光滑度的 Besov-Lizorkin-Triebel 空间框架下，对 Smolyak 型插值算法进行系统分析。结果，我们在各种情形下给出（非）线性采样宽度渐近阶的锐上界，并弥补了现有文献中的一些空白。例如，在 $2\leq p<q<\infty$ 且 $r>1/p$ 情形下，线性采样宽度 $\varrho_n^{\text{lin}}(S^r_pW(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d))$ 和 $\varrho^{\text{lin}}_n(S^r_{p,\infty}B(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d))$ 展现出相应 Gelfand $n$-宽度的渐近行为，而在 $1 < p < q \leq 2$ 且 $r>1/p$ 情形下线性采样宽度匹配相应的线性宽度。在上述情形中，基于单变量经典三角插值的线性 Smolyak 插值被证明是最优的。