B样条拟插值表示与混合光滑性函数的采样重构

设 $\xi = \{x^j\}_{j=1}^n$ 为 $d$ 维立方体 ${\II}^d:=[0,1]^d$ 中由 $n$ 个点构成的网格，$\Phi = \{\phi_j\}_{j =1}^n$ 为 ${\II}^d$ 上的由 $n$ 个函数构成的函数族。我们通过 $$L_n(\Phi,\xi,f)\ := \ \sum_{j=1}^n f(x^j)\phi_j$$ 定义了线性采样算法 $L_n(\Phi,\xi,\cdot)$，用于从采样值 $f(x^1), ..., f(x^n)$ 对 ${\II}^d$ 上的连续函数 $f$ 进行近似重构。对于混合光滑度为 $\alpha$ 的 Besov 类 $B^\alpha_{p,\theta}$（定义为 Besov 空间 $\MB$ 的单位球），为了研究 $L_n(\Phi,\xi,\cdot)$ 在 $L_q({\II}^d)$ 中的最优性，我们使用量 $$r_n(B^\alpha_{p,\theta})_q \ := \ \inf_{H,\xi} \ \sup_{f \in B^\alpha_{p,\theta}} \, \|f - L_n(\Phi,xi,f)\|_q$$，其中下确界取遍所有网格 $\xi = \{x^j\}_{j=1}^n$ 和 $L_q({\II}^d)$ 中的所有函数族 $\Phi = \{\phi_j\}_{j=1}^n$。我们在网格 $\xi = \ G^d(m):= \{(2^{-k_1}s_1,...,2^{-k_d}s_d) \in \II^d : \ k_1 + ... + k_d \le m\}$ 上显式构造了线性采样算法 $L_n(\Phi,\xi,\cdot)$，其中 $\Phi$ 是混合 B 样条的线性组合族，这些混合 B 样条是 $r$ 阶中心 B 样条的整数或半整数平移伸缩的混合张量积。网格 $G^d(m)$ 的规模为 $2^m m^{d-1}$，与规模为 $2^{dm}$ 的生成二进坐标立方体网格相比是稀疏的。对于各种 $0<p,q,\theta \le \infty$ 和 $1/p < \alpha < r$，我们证明了最坏情况误差 $\sup_{f \in B^\alpha_{p,\theta}} \, \|f - L_n(\Phi,\xi,f)\|_q$ 的上界，在某些情况下该上界与 $r_n(B^\alpha_{p,\theta})_q$ 的渐近阶相一致。在构造这些线性采样算法时，函数 $f \in B^\alpha_{p,\theta}$ 由混合 B 样条级数给出的拟插值表示起到了关键作用。