实值与多元指数族的对偶性

考虑 $\R^n$ 上的一个测度 $\mu$，它生成具有方差函数 $V_{F(\mu)}(m)$ 和自然指数族 $F(\mu)$，其拉普拉斯变换为 $$\exp(\ell_{\mu}(s))=\int_{\R^n} \exp(-\<s,x\>)\mu(dx).$$ 对偶测度 $\mu^*$ 满足 $-\ell'_{\mu^*}(-\ell'_{\mu}(s))=s.$ 这样的对偶测度并非总存在。一个重要性质是 $\ell"_{\mu^*}(m)=(V_{F(\mu)}(m))^{-1},$ 由此引出指数族之间（或更确切地说，在通过考虑给定指数族 $F$ 的所有平移而获得的扩展的 T 指数族 $T\hskip-2pt F$ 概念之间）的对偶性概念。