形如 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的测度的支集、正则性与 $\boxplus$-无限可分性

设 $\mathcal{M}$ 为 $\mathbb{R}$ 上的 Borel 概率测度集。我们用 $\mu^{\mathrm{ac}}$ 表示 $\mu\in\mathcal{M}$ 的绝对连续部分。本文旨在研究形如 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的测度的支集和正则性，其中 $\mu\in\mathcal{M}$，$\boxplus$ 和 $\uplus$ 分别是 $\mathcal{M}$ 上的自由加法卷积和 Boolean 卷积运算，且 $p\geq1$，$q>0$。我们证明对于任意 $q$，$((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 和 $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 的支集包含相同数量的连通分支，且该数量是 $p$ 的减函数。给出了 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 密度的显式公式以及确定 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 原子的判据。基于自由卷积幂的从属函数，我们提供了分析 $\boxplus$-无限可分测度集的另一种视角，并用自由卷积和 Boolean 卷积给出了其 Voiculescu 变换的显式表达式。