幂2衰减高斯型展开的多分形分析

每个实数 $x\in[0,1]$ 都有唯一的幂2衰减高斯型展开（P2GLE），即 $x=\sum_{i\in\mathbb{N}} 2^{-(d_1(x)+d_2(x)+\cdots+d_i(x))}$，其中 $d_i(x)\in\mathbb{N}$。对任意 $x\in(0,1]$，定义 Khintchine 指数 $\gamma(x):=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nd_j(x)$（若极限存在）。我们研究水平集 $E(\xi):=\{x\in(0,1]:\gamma(x)=\xi\}$（$\xi\geq 1$）的大小。利用 Ruelle 算子理论，我们得到 Khintchine 谱 $\xi\mapsto\dim_H E(\xi)$，其中 $\dim_H$ 表示 Hausdorff 维数。我们建立了一个显著事实：Khintchine 谱恰好有一个拐点，这在连分数的对应谱中从未被证明。作为直接推论，我们还得到了 Lyapunov 谱。此外，我们求出了水平集 $\{x\in(0,1]:\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\log(d_j(x))=\xi\}$ 和 $\{x\in(0,1]:\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}2^{d_j(x)}=\xi\}$ 的 Hausdorff 维数。