带符号 Engel 展开的度量理论

受 Engel 展开和 Pierce 展开的启发，我们引入了带符号的 Engel 展开。我们将每个 $x\in(0,1)\setminus\mathbb{Q}$ 唯一地展开为 $$x=\frac{\epsilon_{1}(x)}{d_{1}(x)}+\frac{\epsilon_{2}(x)}{d_{1}(x)d_{2}(x)}+\cdots+\frac{\epsilon_{n}(x)}{d_{1}(x)d_{2}(x)\cdots d_{n}(x)}+\cdots,$$ 其中 $\epsilon_{1}(x)\coloneqq1$ 且 $\epsilon_{n}(x)\in\left\{1,-1\right\}$ 当 $n\geq2$。满足 $d_{n+1}(x)\geq d_{n}(x)+2$ 当 $\epsilon_{n+1}(x)=-\epsilon_{n}(x)$ 的数位序列 $\left\{d_{n}(x)\right\}_{n\geq1}$ 形成一个非递减的偶数正整数序列且趋于无穷。一方面，我们获得关于 $d_{n}(x)$ 和 $\Delta_{n}(x)\coloneqq d_{n}(x)-d_{n-1}(x)\ (n\geq2)\ (\Delta_{1}(x)\coloneqq d_{1}(x))$ 的大数定律、中心极限定理和迭代 logarithm 定律。另一方面，我们证明了关于 Lebesgue 测度的集合 $$\left\{x\in(0,1)\colon R_{n}(x)\geq\phi(n)\ \textnormal{ for infinity many } n\right\},$$ 的 Borel--Bernstein 定理，其中 $R_{n}(x)\coloneqq\frac{d_{n}(x)}{d_{n-1}(x)}\ (n\geq2)\ (R_{1}(x)\coloneqq d_{1}(x))$ 且 $\phi$ 是定义在正整数集合上的任意正函数。