沿光滑曲线的双参数族 Weyl 和的双混合界

我们得到了关于形如 $(\tau x+c) \omega(n)+xn$（$n=1, 2, \ldots$）的 $k\ge 2$ 次多项式的 Weyl 和的新界，其中 $\omega(T) \in \mathbb{Z}[T]$ 固定且 $\tau \in \mathbb{R}$，该界对几乎所有 $c\in [0,1)$ 及所有 $x\in [0,1)$ 成立。我们改进并推广了 M.~B.~Erdogan 与 G.~Shakan（2019）的近期结果，他们的工作也展示了该问题与某些经典偏微分方程的联系。我们将其推广到更一般的多项式族 $xn+y \omega(n)$ 的情形：对所有 $(x,y)\in [0,1)^2$ 满足 $f(x,y)=z$，其中 $z$ 取自 $[0,1)$ 中一个具有满勒贝格测度的集合，只要 $f$ 是某个 Hölder 函数。