Weyl和低下界的度量理论

我们证明，使得$$\left|\sum_{n=1}^N \exp\left(2 \pi i\left(x_1n+\ldots+x_d n^d\right)\right) \right|\ge c N^{1/2}$$对无穷多个自然数$N$成立的集合$\mathbf{x}\in [0,1)^d$的Hausdorff维数，在$d \ge 3$时至少为$d-1/2d$，在$d=2$时至少为$3/2$，其中$c$为仅依赖于$d$的常数。这改进了第一与第三作者先前对$d\ge 3$的下界。我们还获得了具有单项$xn^d$的大和之集合的Hausdorff维数的类似界。